ツマンの原理の式のを（したがって当然を）最大にするような分布であるということである。このことは、「巨視的な孤立系が熱的な平衡状態にあれば、エントロピーは最大になるる」ということの意味を微視的な視点から説明している。すなわち、そうした系の微視的な状態をしらべてみれば、それらはボルツマン分布をしているのである。

2.5 分配関数の計算

　分配関数 Ｚ が計算できる系として、次のような系を紹介する。

理想気体とMaxwellの分布

調和振動子

Fermi-Dirac粒子系：金属の中の電子ガス

Bose-Einstein粒子系：

磁性体（スピン系）

マックスウエル分布Maxwell Distribution

　理想気体が、体積Vの容器に入れられた、（絶対）温度Tで熱平衡状態にある時の構成要素である、各気体分子を考える。簡単のためにこれらは、同一の質量ｍの、古典的な粒子とする。1個の分子の運動エネルギーは、

、

となる。ただし、ここで、ｖ、ｐはベクトルである。気体が薄く、他の粒子とポテンシャル・エネルギーが無視できるとすれば、ボルツマン分布のエネルギーを運動エネルギーだけとした分配関数が求められる。これより、位置ｒと速度ｖを変数とした相空間を考えると、分子の速度の絶対値が、vとv+dvである確率は、

　　　、　（体積要素は、）

で与えられる。この分布による最も確からしい早さはである。なお、速度の各成分の分布は、正負対称のガウス分布（正規分布）となり、その平均はもちろんゼロである。この速度分布は、成分が複数ある理想気体にも適用できる。

例題。室温（300度K）で平衡状態にある窒素気体の分子の速さはどれだけか。

解：窒素の分子量は28、これとアボガドロ数から、分子の質量は約4.6x10^-23g.これから、確からしい速さは、約420m/secとなる。（Berkeley, 下、p.263）