数の演算子の固有値が粒子の個数だとすれば、当然粒子が何もない状態がなければならない。これはゼロ粒子状態であり、「真空」vacuum state状態と呼ばれる。これらの演算子と、数の演算子の固有値、固有状態との関係は以下に要約される。

　　　　　　　　

　　　　　　　　

　　　　　　　　

　　　　　　　　

これらの式は演算子の相互の役割を示している。がなぜ生成演算子と呼ばれるかと言えば、数の演算子の固有値がnの固有状態ベクトルに作用して、n+1の状態ベクトルに変換するからである。反対に、は同じ固有状態ベクトルに作用して、n-1の状態ベクトルに変換するからである。この意味では、消滅演算子より英語のdestructionを直訳した「破壊演算子」の方が作用素としての性格を表している。

　上記の式はすべてとの間にある種の交換関係を仮定したことから導かれる。実際にFeynmanの教科書では、このことを次のように述べている。

問題：ある演算子とそのエルミート共役な演算子とが、交換関係を満たす時、両者の積、の固有値を求め、固有ベクトルとの関係を示せ。

もちろん、この問題は、量子力学の数学的な枠組みの中で定義された問題であるが、この簡単な問題から、上で述べたことがらは導かれる。

生成消滅演算子をどう定義するか？

　それでは、こうした生成消滅演算子を実際にどうつくるのか。１次元の調和振動子を例として、これを示してみよう。

　

　ただし、

ここで３章とは座標の記号を変えてあるが、同じ問題である。また、座標と運動量の交換