向きの観測値を与えるものが３０パーセント、下向きが７０パーセント含まれているというような場合を記述できない。この場合の３０パーセントや７０パーセントは、波動関数が与える確率振幅とは無関係な、日常的な意味での頻度である。こうしたさまざまな状態にある、単一系あるいは複合系を記述するのが密度演算子である。

第４章で密度演算子を量子力学的な状態への射影演算子の１次結合であり、係数は負でない実数であり、その和は１に等しいと定義した。

　　　　　　　　　　

ただし、これらの状態は直交している必要はない。またこの定義では、状態ベクトルが１粒子系のものなのか、多粒子系のものなのかなどは指定していない。

　部分系とからなる複合系の密度演算子をとすれば、部分系の密度演算子は、それぞれ

　　　　　　　　　　

で与えられる。ただし、部分Traceは、の任意の２つのベクトルとの任意の２つのベクトルによって、

　　　　

と定義される。

２状態系の記述

　ここでいう２状態系とは、系の取りうる状態が２つしかない量子力学系のことである。実際にはもっと自由度があっても、他の自由度を無視して構わないという近似が成り立つ系のことを意味する。スピンという内部自由度だけに着目した単一電子の状態とか、電場の中にあるアンモニア分子は、３つの水素原子の張る平面に対する窒素原子の位置に関しに関して２状態系で近似できる。また光子の偏光も、右回りの旋光性の状態と左回りの旋光性を示す状態という２状態系で記述できる。水素分子のイオンの場合、１個の電子が２つの陽子の核のいずれかの近くにいるという２つの可能性の重ね合わせになる。粒子についても同様なことが言える。

　２状態系の状態は２次元のヒルベルト空間の点である状態ベクトルに対応する。ハミルトニアンは４成分だけである。２状態系は基本的に、1/2のスピンを有する電子のスピン状態を記述するのと同じ方法が使える。この意味で２状態系は等価である。（ファイマン、量